Question

19．已知公差不为0的等差数列{a_n}，a₁=1，且a₁，a₂，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若以数列{a_n}的公差为最小正周期的函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＜0）值域是[-2，2]，求函数的f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）设公差d≠0的等差数列{a_n}，由椭圆可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，即（1+d）²=1×（1+5d），解得d．可得a_n=3n-2．于是$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
利用“裂项求和”可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．
（II）由$\frac{2π}{|ω|}$=3，ω＜0，解得ω=-$\frac{2π}{3}$．可得f（x）=-2sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{3}$），利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）设公差d≠0的等差数列{a_n}，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₆成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，
∴（1+d）²=1×（1+5d），解得d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．
（II）∵$\frac{2π}{|ω|}$=3，ω＜0，解得ω=-$\frac{2π}{3}$．
∴f（x）=Asin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＜0）值域是[-2，2]，
∴A=2，
∴f（x）=2sin（-$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）=-2sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{2π}{3}x-\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{5}{4}+3k≤$x≤3k+$\frac{11}{4}$（k∈Z）．
∴函数的f（x）的单调递增区间是$[\frac{5}{4}+3k，3k+\frac{11}{4}]$．（k∈Z）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．