Question

在等比数列{a_n}中，其前n项的和为S_n，且a₁=1，9S₃=S₆，则数列{

1

an

}的前5项和为（　　）

• A．

  15

  8

  或5
• B．

  31

  16

  或5
• C．

  31

  16

• D．

  15

  8

Answer 1

分析：由题意可得等比数列{a_n}的公比为2，进而可得数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项

1

q

=

1

2

为公比的等比数列，代入求和公式计算可得．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，
显然q=1，不满足9S₃=S₆，
故可得

9×1×(1-q3)

1-q

=

1×(1-q6)

1-q

，
解之可得q=2，或q=1（舍去）
故数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项

1

q

=

1

2

为公比的等比数列，
故其前n项和为T_n=

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
把n=5代入可得，前5项和为T₅=

31

16

，
故选C

点评：本题考查等比数列的前n项和公式，涉及等比数列的判定，属中档题．