Question

9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为底面ABCD的中心，点P为线段CC₁的中点，则直线OP与平面A₁BD所成角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OP与平面A₁BD所成角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
O（1，1，0），P（0，2，1），A₁（2，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{OP}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设直线OP与平面A₁BD所成角的大小为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=1．
∴θ=90°．
∴直线OP与平面A₁BD所成角的大小为90°．
故选：D．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．