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设函数 $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为 $数学公式$ ？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ，其定义域为[0，a]；（2分）
（2）令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且x=（t-1）²
∴ $\text{[math]}$ （5分）
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上递增，即此时f（x）的值域为 $\text{[math]}$ （8分）
（3）令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且x=（t-1）²∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴y= $\text{[math]}$ 在[1，2]上递增， $\text{[math]}$ 上递减，（10分）
t=2时 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2时 $\text{[math]}$
∴由f（x）的值域恰为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （13分）
所求a的集合为{1，2，，9}．（14分）
分析：（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．
（2）当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；
（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．
点评：本题考查函数的定义域，函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．

练习册系列答案

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