【题目】已知定义在(0,+∞)上的函数 ,其中a>0.设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同.则b的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解:设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(m,n)处的切线相同,
f′(x)=x+2a,g′(x)= ,
由题意知f(m)=g(m),f′(m)=g′(m),
∴m+2a= ,且
m2+2am=3a2lnm+b,
由m+2a= 得,m=a,或m=﹣3a(舍去),
即有b= a2+2a2﹣3a2lna=
﹣3a2lna,
令h(t)= t2﹣3t2lnt(t>0),
则h′(t)=2t(1﹣3lnt),于是:
当2t(1﹣3lnt)>0,即0<t<e 时,h′(t)>0;
当2t(1﹣3lnt)<0,即t>e 时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e )=
e
,
故b的最大值为 e
,
故选:B.
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【题目】4月23日是世界读书日,为提高学生对读书的重视,让更多的人畅游于书海中,从而收获更多的知识,某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯,让思考伴随人生”的实践活动,校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生,通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书,来了解在校高一学生的读书习惯,得到如表列联表:
喜欢读纸质书 | 不喜欢读纸质书 | 合计 | |
男 | 16 | 4 | 20 |
女 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 24 | 16 | 40 |
(Ⅰ)根据如表,能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系?
(Ⅱ)从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生,求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E(ξ).
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
下列的临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,其中n表示圆内接正多边形的边数,执行此算法输出的圆周率的近似值依次为(参考数据: ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin75°≈0.1305)( )
A.2.598,3,3.1048
B.2.598,3,3.1056
C.2.578,3,3.1069
D.2.588,3,3.1108
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【题目】如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 ;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°
(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?
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【题目】在直角坐标系xOy中,已知点A(0,3)和B(6,0).
(Ⅰ)求线段AB垂直平分线的方程;
(Ⅱ)若曲线C上的任意一点P满足2|PA|=|PB|,求曲线C的方程.
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【题目】在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求证:BD⊥EG;
(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x﹣2);当0≤x≤1时,f(x)= ,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f等于( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
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【题目】已知椭圆 的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合,且椭圆的离心率是
,如图所示.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线l,l与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.
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【题目】近期“共享单车”在全国多个城市持续升温,某移动互联网机构通过对使用者的调查得出,现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示:
(Ⅰ)求出这组数据的平均数和中位数;
(Ⅱ)某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用,求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.
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