已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线上的两个动点,且满足,过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)为定值0.
(Ⅰ)设椭圆方程为(a>b>0).
因为,得.又,则.
故椭圆的标准方程是. (5分)
(Ⅱ)由椭圆方程知,c=1,所以焦点F(0,1),设点A(x1,y1),B(x2,y2).
由,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),所以-x1=λx2,1-y1=λ(y2-1). (7分)
于是.因为,,则y1=λ2y2.
联立y1=λ2y2和1-y1=λ(y2-1),得y1=λ,y2=. (8分)
因为抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1,l2,则
直线l1的方程是y=x1(x-x1)+y1,即y=x1x-x12. (9分)
直线l2的方程是y=x2(x-x2)+y2,即y=x2x-x22. (10分)
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为. (11分)
因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4. 所以点M. (12分)
于是,(x2-x1,y2-y1).
所以==(x22-x12)-2(x22-x12)=0.
故为定值0. (13分)
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2 |
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