Question

从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？

（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

Answer 1

思路解析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

解：（1）先从男生中选2人，有C种选法，再从女生中选2人，有C种选法，所以共有C·C=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C=21（种）；

（3）（间接法）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数：C-C=91（种）；

如果采用直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数C+C+C=91（种）.

（4）（间接法）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数C-C-C=120（种）.

也可用直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为CC+CC+CC=120（种）.

方法归纳  解决有附加条件的排列与组合的应用题，通常有三种途径：

（1）以元素为主，优先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

（2）以位置为主，优先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数与组合数.其中，前两种解法叫做直接法，后一种解法叫做间接法.

此外，为了防止重复和遗漏，必须准确分析事件的发生、发展过程，正确分清“类”与“步”，正确区分“至多”与“至少”，“含”与“不含”等关键词的含义，恰当地确定分类与分步标准.