Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(

x+1

2

)2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由题意可得当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，进而可得a+c=b=

1

2

，又由二次函数的恒成立可得

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，可得

a＞0 ac≥ 1 16

，再由基本不等式可得当且只有当a=c=

1

4

时，满足题意，进而可得解析式．

解答：解：∵对任意的x∈R，总有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时f(x)≤(

x+1

2

)2，
∴当x=1时，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，结合f（-1）=0可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，
解得a+c=b=

1

2

，又∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

，
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=

1

2

，
∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立，
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及基本不等式和恒成立问题，属中档题．