Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，点P（1，）在椭圆C上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求定点M的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在轴上存在定点，使得为定值.

【解析】

（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及，，的关系，解方程可得，，，进而得到椭圆方程；

（2）假设在轴上存在定点，使得得为定值．设，，，，直线方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得，令，解得即可得出．

解：（1）椭圆：的离心率为，

可得，，

点在椭圆上，可得，

解得，，

椭圆的标准方程为：；

（2）假设在轴上存在定点，使得为定值.

设，，

椭圆的右焦点为，设直线的方程为，

联立椭圆方程，化为，

则，，

.令，解得，可得，因此在轴上存在定点，使得为定值.