Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点
（I）设N（-p，0），求

NA

•

NB

+1的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，再利用弦长公式，求出a，p的关系式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答： 解：（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：x=my+p，
由

x=my+p y2=2px

⇒y²-2pmy-2p²=0，∴

y1+y2=2pm y1y2=-2p2

，

NA

•

NB

=（x₁+p）（x₂+p）+y₁y₂=（my₁+2p）（my₂+2p）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+2pm（y₁+y₂）+4p²，=2P²m²+2P²，
当m=0时，

NA

•

NB

+1的最小值为2p²+1；
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，设AC的中点为O′，
l与以AC为直径的圆相交于P，Q，PQ中点为H，
则O′H⊥PQ，O′的坐标为（

x1+p

2

，

y1

2

）．
∵|O'P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

，
|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

（x₁²+p²）-

1

4

（2a-x₁-p）²=（a-

1

2

p）x₁+a（p-a），
|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-

1

2

p）x₁+a（p-a）]，
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此时|PQ|=p为定值．
故满足条件的直线l存在，其方程为x=

1

2

p．

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意方程思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化