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    （2012•湖南模拟）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

    将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：
    （Ⅰ）b3是数列{an}中的第
    9
    9
    项；
    （Ⅱ）b2k=
    5k(5k+1)
    2
    5k(5k+1)
    2
    （用k表示）
    分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项，由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可得结论；
    （II）由于2k是偶数，由（I）知，第2k个被5整除的数出现在第k组倒数第一个，故它是数列{an}中的第k×5=5k项，由此可得结论．
    解答：解：（I）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），
    故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+…+2+1=
    1
    2
    n（n+1）
    由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
    由此知，第3个可被5整除的数为45，是数列{an}中的第9项；
    （II）由于2k是偶数，由（I）知，第2k个被5整除的数出现在第k组倒数第一个，故它是数列{an}中的第k×5=5k项，
    所以b2k=
    5k(5k+1)
    2

    故答案为：9，
    5k(5k+1)
    2
    ．
    点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数．
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    （2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
    1
    2
    x2+x-(x+1)ln(x+1)
    （1）判断f（x）的单调性；
    （2）记φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函数φ（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：φ′(
    x1+x2
    2
    )＞0    ．

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    （2012•湖南模拟）已知向量
    m
    =(2cos2x，
    		3
    )，
    n
    =(1，sin2x)    ，函数f(x)=
    m
    •
    n
    ．
    （1）求函数f（x）的对称中心；
    （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)=3，c=1，ab=2
    		3
    ，且a＞b，求a，b的值．

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    （2012•湖南模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f(x)=
    1
    12
    x4-
    1
    6
    mx3-
    3
    2
    x2    ，若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•湖南模拟）已知函数f(x)=
    -x-1(x＜-2)
    x+3(-2≤x≤
    1
    2
    )
    5x+1(x＞
    1
    2
    )
    （x∈R），
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
    （Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m2-1）x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

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    （2012•湖南模拟）设曲线y=xn+1（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•x3•…•x2012的值为
    1
    2013
    1
    2013
    ．

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