Question

【题目】在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于两点 ， 为 的中点，且 的斜率为 .

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）当点的坐标为 时， 为定值.

【解析】试题分析：

(1)利用题意结合几何关系可求得 ，所以椭圆 的方程为

(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，整理可得当点的坐标为 时， 为定值.

试题解析：

解：(1) 设 ,则 ，两式相减得，

，又 ， 为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .

(2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 .

，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有

，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时， 为定值.