Question

已知函数f（x）=，其中a>0，
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）y=6x-9；（Ⅱ）a的范围为。

试题分析：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；
=, =6.
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9
（Ⅱ）解：=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.     5分
以下分两种情况讨论：
（1）若，当x变化时，，f（x）的变化情况如表：

x		0
	+	0	-
f（x）		极大值

当等价于
解不等式组得-5<a<5.因此.
若a>2，则.当x变化时，, f(x)的变化情况如下表：

x		0
	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值

当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2<a<5.
综上所述，a的范围为
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（1）主要应用“切线斜率，等于函数在切点的导函数值”。（2）则是不等式恒成立问题，转化成求函数最值问题后，利用导数研究函数的单调性确定最值，进一步建立a的不等式组，达到解题目的。