Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点F（2，0）作倾斜角为60°的直线，与椭圆交于A、B两点，若|BF|=2|AF|，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为y=

3

（x-2），与椭圆的方程消去x，得（a²+

1

3

b²）y²+

4 3

3

b²y+4b²-a²b²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系结合已知条件得y₁+y₂=-

4 3 b2

3a2+b2

=-y₁，y₁y₂=

12b2-3a2b2

3a2+b2

=-2y₁²，消去y₁得关于a、b的方程，结合a²=b²+4联解，可得a=3，从而得到该椭圆的离心率．

解答：解：∵直线AB经过F（2，0）且倾斜角为60°，
∴AB的斜率k=tan60°=

3

，得直线AB方程为y=

3

（x-2）
将直线AB方程与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1联解，消去x得：（a²+

1

3

b²）y²+

4 3

3

b²y+4b²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=-

4 3 b2

3a2+b2

，y₁y₂=

12b2-3a2b2

3a2+b2

∵|BF|=2|AF|，
∴y₁+y₂=-y₁=

4 3 b2

3a2+b2

，y₁y₂=-2y₁²=

12b2-3a2b2

3a2+b2

消去y₁，得-2（

4 3 b2

3a2+b2

）²=

12b2-3a2b2

3a2+b2

…（1）
又∵椭圆的焦点F（2，0）
∴a²=b²+4，代入（1）式化简整理，得-96b⁴=-3b⁴（4b²+12），解之得b²=5
由此可得a²=9，a=3，所以椭圆的离心率e=

c

a

=

2

3

故选：B

点评：本题给出椭圆经过右焦点倾角为60度的弦AB被焦点分成1：2的两部分，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于基础题．