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    过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）右焦点F（2，0）作倾斜角为60°的直线，与椭圆交于A、B两点，若|BF|=2|AF|，则椭圆的离心率为（　　）
    分析：由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为y=
    		3
    （x-2），与椭圆的方程消去x，得（a2+
    1
    3
    b2）y2+
    4
    		3
    3
    b2y+4b2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系结合已知条件得y1+y2=-
    4
    		3
    b2
    3a2+b2
    =-y1，y1y2=
    12b2-3a2b2
    3a2+b2
    =-2y12，消去y1得关于a、b的方程，结合a2=b2+4联解，可得a=3，从而得到该椭圆的离心率．
    解答：解：∵直线AB经过F（2，0）且倾斜角为60°，
    ∴AB的斜率k=tan60°=
    		3
    ，得直线AB方程为y=
    		3
    （x-2）
    将直线AB方程与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1联解，消去x得：（a2+
    1
    3
    b2）y2+
    4
    		3
    3
    b2y+4b2-a2b2=0
    设A（x1，y1），B（x2，y2），得y1+y2=-
    4
    		3
    b2
    3a2+b2
    ，y1y2=
    12b2-3a2b2
    3a2+b2

    ∵|BF|=2|AF|，
    ∴y1+y2=-y1=
    4
    		3
    b2
    3a2+b2
    ，y1y2=-2y12=
    12b2-3a2b2
    3a2+b2

    消去y1，得-2（
    4
    		3
    b2
    3a2+b2
    ）2=
    12b2-3a2b2
    3a2+b2
    …（1）
    又∵椭圆的焦点F（2，0）
    ∴a2=b2+4，代入（1）式化简整理，得-96b4=-3b4（4b2+12），解之得b2=5
    由此可得a2=9，a=3，所以椭圆的离心率e=
    c
    a
    =
    2
    3

    故选：B
    点评：本题给出椭圆经过右焦点倾角为60度的弦AB被焦点分成1：2的两部分，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于基础题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
    		2
    ，离心率e=
    2
    		2
    3
    ．过直线l：x=
    a2
    c
    上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
    （1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
    （2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
    		2
    ，0    ）；
    （3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    相交于A，B两点记λ=
    OA
    •
    OB
    ，且
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）求k的取值范围；
    （Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：圆x2+y2=1过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1相交于A，B两点记λ=
    OA
    •
    OB
    ，且
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    ，
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （如图）过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
    （1）求椭圆
    x2
    5
    +y2    =1的“左特征点”M的坐标．
    （2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
    a
    b
    的值为
    1+
    		5
    2
    1+
    		5
    2
    ．

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