Question

已知二次函数y=f（x）的图象与x轴相切于点（-1，0），其导函数y=f′（x）与直线y=2x平行．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）已知，试讨论方程kf′（x）-lnf（x）=0（k∈R）在区间（-1，+∞）上解得个数．

Answer 1

解：（1）依题意可设y=f（x）=a（x+1）²（a≠0）．
又导函数y=f′（x）与直线y=2x平行
∴a=1，
∴y=f（x）=（x+1）²…（4分）
（2）由（1）知：2k（x+1）-2ln（x+1）=0，令t=x+1＞0（x＞-1），∴
故原方程在（-1，+∞）上的解，即为直线y=k与曲线在（0，+∞）上的交点个数．…（7分）
∵
令g′（t）=0，∴t=e∈（0，+∞），
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴由图象可知，当时，原方程没有解；
当0＜k＜时，原方程有两解；
当k≤0时，原方程仅有一解；
当k=时，原方程仅有一解．…（12分）
综上所述，当k≤0或k=时，方程仅有一解；
当0＜k＜时，方程有两解；
当时，方程没有解．…（13分）
分析：（1）先假设函数解析式，利用导函数y=f′（x）与直线y=2x平行，可求y=f（x）的解析式；
（2）方程kf′（x）-lnf（x）=0（k∈R）在区间（-1，+∞）上解，可转化为两曲线的交点个数，由此，可借助于函数的图象加以解决．
点评：本题以二次函数为载体，考查解析式的求解，考查方程根的个数的研究，关键是合理转化．