【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值.
【答案】
(1)解:由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB.又CD⊥AA1.
故CD⊥平面A1ABB1.
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD= =
(2)解:[解法一]
如图1,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥平面A1ABB1.故CD⊥A1D,CD⊥D1D,所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角.因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影,又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D.从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余.因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此AA1:AD=A1B1:AA1,即AA12=ADA1B1=8,得AA1=2 ,从而A1D= =2 .所以Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1= = =
解法二:如图2,过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,有DB,DC,DD1两两垂直,以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.
设直三棱柱的高为h,则A(﹣2,0,0),A1(﹣2,0,h),B1(2,0,h),C(0, ,0),C1(0, ,h),从而 =(4,0,h), =(2, ,﹣h)
由AB1⊥A1C,可得8﹣h2=0,h=2 ,故 =(﹣2,0,2), =(0,0,2 ), =(0, ,0)
设平面A1CD的法向量为 =(x1,y1,z1),则有 ⊥ , ⊥
∴ =0且 =0,即 ,取z1=1,则 =( ,0,1)
设平面C1CD的法向量为 =(x2,y2,z2),则 ⊥ , ⊥ ,即 且 =0,取x2=1,得 =(1,0,0),
所以cos< , >= = = ,所以二面角A1﹣CD﹣C1span>的平面角的余弦值
【解析】(1)由题意,由于可证得CD⊥平面A1ABB1 . 故点C到平面的距离即为CD的长度,易求;(2)解法一:由题意结合图象,可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1 , 然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦;
解法二:根据几何体的形状,可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1 , 在直三棱柱中,可得DB,DC,DD1两两垂直,则以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.给出各点的坐标,分别求出两平面的法向量,求出两向量的夹角即为两平面的夹角.
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【题目】某县经济最近十年稳定发展,经济总量逐年上升,下表是给出的部分统计数据:
序号 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
年份 | 2008 | 2010 | 2012 | 2014 | 2016 |
经济总量(亿元) | 236 | 246 | 257 | 275 | 286 |
(1)如上表所示,记序号为,请直接写出与的关系式;
(2)利用所给数据求经济总量与年份之间的回归直线方程;
(3)利用(2)中所求出的直线方程预测该县2018年的经济总量.
附:对于一组数据,
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,.
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【题目】某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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【题目】已知矩形ABCD,AB=1,BC= .将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
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【题目】已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3﹣2bx﹣a+b.
(1)证明:当0≤x≤1时,
(i)函数f(x)的最大值为|2a﹣b|+a;
(ii)f(x)+|2a﹣b|+a≥0;
(2)若﹣1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.
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【题目】智能手机的出现,改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名,得到每天使用手机时间(单位:分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ,.
(1)根据频率分布直方图,估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
(2)估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(3)在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组,然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少?
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