Question

已知双曲线x²-

y2

2

=1，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有

y=k(x-1)+1 x2 - y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

    又M（1，1）为线段AB的中点
∴

x1+x2

2

=1   即

k-k2

2-k2

=1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在