Question

将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合．记边AB所在直线的倾斜角为θ，已知．
（Ⅰ）试用θ表示的坐标（要求将结果化简为形如（cosα，sinα）的形式）；
（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），称|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号|PQ|表示．试求|BC|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：因为B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+），sin（θ+）），…（2分）
所以=（cos（θ+）-cosθ，sin（θ+）-sinθ），…（3分）
=（-sinθ-cosθ，cosθ-sinθ）
=（cos（θ+），sin（θ+））．…（7分）
解法二：平移到（B移到A，C移到D），…（2分）
由的坐标与的坐标相等，都等于点D的坐标．…（3分）
由平几知识易得直线AD的倾斜角为+θ，
∵=1，
∴根据三角函数的定义可得D（cos（θ+），sin（θ+）），
所以=（cos（θ+），sin（θ+））．…（7分）
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+）|+|sin（θ+））|，…（8分）
∵θ∈[0，]，
∴θ+∈[，π]，…（9分）
∴|BC|=-cos（θ+）+sin（θ+）…（11分）
=sin（θ+），…（12分）
所以当时，|BC|取得最大值．…（13分）
解法二：|BC|=|cos（θ+）-cosθ|+|sin（θ+）-sinθ|，…（8分）
∵0≤θ≤，
∴≤θ+≤＜π，即0≤θ＜θ+＜π，
∴=cosθ-cos（θ+）．…（9分）
∵0≤θ≤，
∴-θ≥（θ+）-，
∴=sin（θ+）-sinθ，…10分
|BC|=cosθ-cos（θ+）+sin（θ+）-sinθ
=sin（θ+）+cos（θ+）
=sin（θ+），…（12分）
所以当θ=，|BC|取得最大值．…（13分）
分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+），sin（θ+））可求得的坐标，利用两角和与差的三角函数公式即可求得．
解法二：由直线AD的倾斜角为+θ，=，利用三角函数的定义可求得D点的坐标为：D（cos（θ+），sin（θ+）），即的坐标；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+）|+|sin（θ+））|，而θ∈[0，]，可求得θ+∈[，π]，从而可得|BC|=-cos（θ+）+sin（θ+），整理可得|BC|=sin（θ+），继而可得答案；
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+）-cosθ|+|sin（θ+）-sinθ|，由0≤θ≤，可得0＜θ+＜π，从而=cosθ-cos（θ+），同理=sin（θ+）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+）+cos（θ+），再利用辅助角公式即可得答案．
点评：本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于难题．