Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y²＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，

代入椭圆方程得＋(kx＋)²＝1.

整理得(＋k²)x²＋2kx＋1＝0                              ①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

Δ＝8k²－4(＋k²)＝4k²－2>0，

解得k<－或k>，即k的取值范围为

(－∞，－)∪(，＋∞)，

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则

＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，

由方程①，x₁＋x₂＝－.                                  ②

又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2.                                   ③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1).

所以＋与共线等价于x₁＋x₂＝－(y₁＋y₂)，

将②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.