Question

已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

Answer 1

(I)  (II)

解析试题分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a²=b²+c²，解出a即可.(II)设A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆中，得到关于x的一元二次方程，由判别式求出k的取值范围，和用k表示的x₁+x₂，x₁x₂的表达式，然后分以O或A或B为直角顶点，根据向量垂直的坐标表示的充要条件列出关于k的方程，求解即可.
试题解析：(Ⅰ)  
所以椭圆方程为 
(Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为: 
由   得 
,得:,即 
设,  
(1)若为直角顶点,则 ,即 ,
,所以上式可整理得,
,解,得,满足 
(2)若为直角顶点,不妨设以为直角顶点,,则满足:
,解得,代入椭圆方程,整理得, 
解得,,满足 
时,三角形为直角三角形  
考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的相交的条件；3.向量垂直的充要条件.