【题目】在一个给定的正
边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为______．
【答案】
【解析】
从
边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有
,每种取法等可能出现,属于古典概率,正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部,若第一个点取的就是点
,对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1,第二个点取的是点2…第二个点取的是m,第二个点取的是点n,再考虑第三个点的所有取法,利用古典概率的公式可求．
解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点,顺时针方向的下一个点为点1,则以时钟12点和6点连线为轴,左右两边各有n个点．
多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：
假设第一个点取的就是点,则剩下的两点必然在轴线的一左一右．
对于第二个点取的是点1,
对于第二个点取的是点2,第三个点能取点
、点
,有2种
…
对于第二个点取的是点m,第三个点能取点、点…点
,有m种
…
对于第二个点取的是点n,第三个点能取点,点…点2n,有n种
一共
种
如果第二个点取的是点到点2n,可视为上述情况中的第三个点．
所以
一共可构成三角形个数
故答案为：
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【题目】设椭圆C的方程为
，O为坐标原点，A为椭团的上顶点，
为其右焦点，D是线段
的中点，且
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P，Q两点，分别作
轴，
轴，垂足分别为E，F，连接
，
并延长交椭圆C于点M，N两点.
（ⅰ）判断
的形状；
（ⅱ）求四边形
面积的最大值.
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
： 
的离心率
，左顶点为
，过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
，交
轴于点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知
为
的中点，是否存在定点
，对于任意的
都有
，若存在，求出点
的
坐标；若不存在说明理由；
（3）若过
点作直线
的平行线交椭圆
于点
，求
的最小值．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，过
轴正方向上一点
任作一直线，与抛物线
相交于
两点，一条垂直于
轴的直线分别与线段
和直线
交于点
.
(1) 若
，求
的值；
(2) 若
，
为线段的中点，求证: 直线
与该抛物线有且仅有一个公共点.
(3) 若，直线的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问是否一定为线段的中点? 说明理由.
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【题目】已知数列
的前
项和为
，数列
是首项为0，公差为
的等差数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，对任意的正整数
，将集合
中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为
，求证：数列
为等比数列；
（3）对（2）中的，求集合
的元素个数.
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【题目】若数列
满足
则称
为
数列.记
（1）若
为数列,且
试写出
的所有可能值；
（2）若为数列，且
求
的最大值；
（3）对任意给定的正整数
是否存在数列
使得
？若存在，写出满足条件的一个数列；若不存在，请说明理由.
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