Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0且bc≠0）．
（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜|x₁-x₂|≤2，试确定c-b的符号．

Answer 1

分析：（1）由|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，我们可以构造关于a，b，c的方程，结合二次函数的性质，解方程即可得到函数f（x）的解析式；
（2）联立两个函数的解析式，结合韦达定理，我们可表示出|x₁-x₂|，结合0＜|x₁-x₂|≤2，及a＞0且bc≠0等条件，我们可以构造关于a，b，c的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）由已知|f（1）|=|f（-1）|，有|a+b+c|=|a-b+c|，（a+b+c）²=（a-b+c）²，可得4b（a+c）=0．
∵bc≠0，∴b≠0．∴a+c=0．
又由a＞0有c＜0．
∵|c|=1，于是c=-1，则a=1，|b|=1．
∴f（x）=x²±x-1．
（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0．
设方程f（x）=0的两根为x₁、x₂．
∴x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁x₂=

c

a

．
则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4-4 c a

．
由已知0＜|x₁-x₂|≤2，
∴0≤

c

a

＜1．
又∵a＞0，bc≠0，
∴c＞0．
∴c-b＞0．

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，函数解析式的求法，二次函数的性质，根据已知条件，结合二次函数的性质，将已知条件转化为关于a，b，c的方程（或不等式）是解答本题的关键．