Question

4．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，均有f（3+x）=f（3-x）成立．若x∈（0，3）时，f（x）=|x²-1|，求出当x∈（-6，-3）时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性之间的关系推导出f（x+6）=-f（x），利用条件关系进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义域为R的奇函数且f（3+x）=f（3-x），
∴f（3+x）=f（3-x）=-f（x-3），
即f（x+6）=-f（x），
即f（x）=-f（x+6），
当x∈（-6，-3）时，则x+6∈（0，3），
∵x∈（0，3）时，f（x）=|x²-1|，
∴f（x+6）=|（x+6）²-1|，
则f（x）=-f（x+6）=|（x+6）²-1|，x∈（-6，-3）．
即当x∈（-6，-3）时，f（x）=|（x+6）²-1|．

点评 本题考查函数解析式求解，根据变量之间的关系进行转化是解决本题的关键．