Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图：
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
（3）若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2，再利用三棱锥的体积计算公式就看得出V_P-ABCD=

1

3

•PC•S_底．
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．连接AC，可得BD⊥AC，利用线面垂直的性质可得BD⊥PC，从而得到BD⊥平面PAC，即可得出结论；
（3）用反证法：假设BF⊥平面PAD，利用线面垂直的性质定理可得BF⊥AD．进而得到AD⊥平面PBC，可得AD⊥PA．利用PC⊥平面ABCD，可得AD⊥PC，于是AD⊥平面PDC，可得AD⊥PD．于是得到PA∥PD与PA∩PD=P矛盾即可．

解答：（1）解：由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

•PC•S_底=

1

3

×2×1=

2

3

．
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．
证明：连接AC，由正方形ABCD可得BD⊥AC，
又∵PC⊥底面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
当E在PC上运动时，AE?平面PAC，
∴BD⊥AE恒成立．
（3）用反证法：假设BF⊥平面PAD，∵DA?平面PAD，∴BF⊥AD．
又AD⊥AB，AB∩BF=B，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PA．
∵PC⊥平面ABCD，∴AD⊥PC． 
∵AD⊥DC，DC∩PC=C，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD．
∴PD∥PA与PD∩PA=P项矛盾．
∴BF不可能垂直于平面PAD．

点评：熟练掌握线面垂直的判定与性质、正方形的性质、三棱锥的体积计算公式、反证法等是解题的关键．