Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值点；
（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x+ax²+blnx（x＞0）
∴，
∵y=f（x）在点P（1，0）处的切线斜率为2，
∴即
解得，
∴a=-1，b=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）
得，
即
由x＞0可得，
当f'（x）＞0时，解得，
当f'（x）＜0时，解得．
列表可得：
故f（x）只有极大值点，且极大值点为．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x+2，得g（x）=-x²-x+2+3lnx（x＞0），
∴，
即．
由x＞0可得，
当g'（x）＞0时，解得0＜x＜1；
当g'（x）＜0时，x＞1．
列表可得：
由表可知g（x）的最大值为g（1）=0．
即g（x）≤0恒成立，因此f（x）≤2x-2恒成立．
分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义及切点即可得出a、b的值；
（Ⅱ）利用f^′（x）=0及x＞0解出x的值，进而利用极值的定义进行判定即可求出；
（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立?g（x）=f（x）-2x+2≤0在（0，+∞）上恒成立?g（x）_max≤0，x∈（0，+∞）．利用导数求出函数g（x）的极大值，进而求出其最大值即可判断出答案．
点评：熟练掌握导数的几何意义和利用导数研究函数的极值、最值的方法是解题的关键．注意分类讨论的思想方法和转化思想的应用．