Question

3．若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n，则（　　）

• A． S_n=2ⁿ⁺¹-1
• B． a_n=2ⁿ-1
• C． S_n=2ⁿ⁺¹-2
• D． a_n=2ⁿ⁺¹-3

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-n，得a₁=2a₁-1，即a₁=1；再根据数列的递推公式得到数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：由S_n=2a_n-n，得a₁=2a₁-1，即a₁=1；
当n≥2时，有S_n-1=2a_n-1-（n-1），
则a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，
则a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2；
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
故选：B

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．