Question

已知圆O：x²+y²=4，点A（

3

，0），以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，通过|OM|+|MN|=|ON|=2，推出|OM|+|MN|=4．说明点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线Γ的方程．
（Ⅱ）推出OB⊥CD，设B（x₀，y₀），然后利用直线与椭圆方程联立求出B的坐标，即可求解直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|+|MN|=|ON|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OM|+|MN|）=4．
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a=2，c=

3

，b=1，则曲线Γ的方程为

x2

4

+y²=1． 

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则

OB

⊥

AB

．设B（x₀，y₀），
则x₀（x₀-

3

）+y

2 0

=0． 
又

x 2 0

4

+y

2 0

=1 
解得x₀=

2

3

，y₀=±

2

3

．
则k_OB=±

2

2

，k_AB=?

2

，
则直线AB的方程为y=±

2

（x-

3

），
即x-y-

6

=0或

2

x+y-

6

=0．

点评：本题考查轨迹方程的求法，判断轨迹的椭圆简化解题的过程，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．