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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.
(1)求证:AB1⊥平面A1BD;
(2)求三棱锥B-A1B1D的体积.

(1)证明:由正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等可知:AB1⊥A1B
如图,取BC的中点E,连接B1E,则Rt△BCD≌Rt△B1BE
∴∠BB1E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°
∴BD⊥B1E
由平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,且AE⊥BC得,AE⊥平面BCC1B1
∴AE⊥BD
∵B1E?平面AEB1,AE?平面AEB1,AE∩B1E=E
∴BD⊥平面AEB1
∴BD⊥AB1
∵A1B?平面A1BD,BD?平面A1BD,A1B∩BD=B
∴AB1⊥平面A1BD
(2)解:连接B1D,由AA1∥平面BCC1B1
所以点A1到平面BCC1B1的距离,等于AE=
=2
==
故三棱锥B-A1B1D的体积为
分析:(1)取BC中点E,连接B1E,证明BD⊥平面AEB1,得BD⊥AB1,由直线与平面垂直的判定定理,可得所证结论.
(2)连接B1D,则三棱锥B-A1B1D的体积可以通过求三棱锥A1-B1DB的体积得到.
点评:本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法,解题过程中要注意各种位置关系的相互转化以及数量关系的求解.
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A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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AOOB1
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