设函数f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.
证明见试题解析.
【解析】
试题分析:充要条件的证明要分别证明充分性和必要性,.本题充分性是由证明为奇函数,必要性是由为奇函数证明.
试题解析:证明充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0, 2
∴f(x)=x|x| 3
∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|, 4
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数 6
必要性:若f(x)为奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立 7
即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立 8
令x=0,则b=-b,∴b=0, 10
令x=a,则2a|a|=0,∴a=0 11
即a2+b2=0 12
考点:充要条件
科目:高中数学 来源:2002年全国各省市高考模拟试题汇编 题型:044
设函数f(x)=(x-1)(a>0,且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(3x,)是函数y=g(x)图象上的点.
(Ⅰ)写出函数y=g(x)的解析式;
(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集.
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科目:高中数学 来源:广州市2008届高中教材变式题2:二次函数 题型:022
设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列4个命题:
①当c=0时,y=f(x)是奇函数;
②当b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根;
③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多有两个实根.
上述命题中正确的序号为________.
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科目:高中数学 来源:天津市耀华中学2012届高三寒假验收考试数学理科试题 题型:013
设函数f(x)=x|x|+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有
①当b>0时,函数f(x)在R上是单调增函数;
②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值;
③函数f(x)的图象关于(0,c)对称;
④方程f(x)=0可能有三个实数根.
A.①③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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科目:高中数学 来源:广东省云浮罗定中学2012届高三11月月考数学理科试题 题型:044
已知二次函数y=g(x)的图象经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m+1,m+1),设函数f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b处取到极值,其中m>n>0,b<a.
(1)求g(x)的二次项系数k的值;
(2)比较a,b,m,n的大小(要求按从小到大排列);
(3)若m+n≤2,且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f(x)均相切,求y=f(x).
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年宁夏高三第五次月考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
设函数f(x)=,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上的最大值为________.
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