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设函数f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.

 

【答案】

证明见试题解析.

【解析】

试题分析:充要条件的证明要分别证明充分性和必要性,.本题充分性是由证明为奇函数,必要性是由为奇函数证明.

试题解析:证明充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0,       2

∴f(x)=x|x|                  3

∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|,           4

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数        6

必要性:若f(x)为奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立     7

即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b恒成立           8

令x=0,则b=-b,∴b=0,            10

令x=a,则2a|a|=0,∴a=0                11

即a2+b2=0       12

考点:充要条件

 

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③函数f(x)的图象关于(0,c)对称;

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[  ]

A.①③

B.①④

C.①②④

D.①③④

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