Question

动点M（x，y）到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）过点Q（-3，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用动点M（x，y）到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1，建立方程，化简方程可得M点的轨迹方程；
（II）设l的方程为x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0，利用韦达定理，可得|AB|，结合△PAB是等边三角形得：PM⊥AB且，由此可得结论．
解答：解：（I）依题意有：…（2分）
当x≥0时，y=0；当x＜0时，y²=-4x…（5分）
∴M点的轨迹方程为…（6分）
（II）由题意，l只能与抛物线y²=-4x相交．
设l的方程为x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0…（7分）
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）则
∴…（8分）
AB的中点M（-2m²-3，-2m）
由△PAB是等边三角形得：PM⊥AB且…（9分）
令点P（3，n）则…（10分）
∴，解得
所以存在点P（3，0）使得△PAB是等边三角形．…（13分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．