【题目】如图,圆, 是圆M内一个定点,P是圆上任意一点,线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为曲线E
(1)求曲线E的方程;
(2)过点D(0,3)作直线m与曲线E交于A,B两点,点C满足 (O为原点),求四边形OACB面积的最大值,并求此时直线m的方程;
(3)已知抛物线上,是否存在直线与曲线E交于G,H,使得G,H的中点F落在直线y=2x上,并且与抛物线相切,若直线存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)2,(3)存在,x+8y﹣8=0或x=0
【解析】
(1)由已知可得|QN|=|QP|,进而有|QM|+|QP|=4>|MN|,根据椭圆定义,即可求解;
(2)由,四边形OACB为平行四边形,设,,设直线斜率为(斜率不存在另讨论),求出直线方程,与椭圆方程联立,消元,求出的范围,根据韦达定理得出,关系,进而将表示是为的目标函数,换元,利用基本不等式,即可求解;
(3)若直线斜率不存在,满足条件,若斜率存在,设直线与曲线E的交点坐标为,应用点差法,结合G,H的中点F落在直线y=2x上,求出直线的斜率,设直线方程,与抛物线方程联立,利用,求出直线方程,验证直线与椭圆是否相交,即可求解.
(1)由题意可知,Q在PN的垂直平分线上,所以|QN|=|QP|,
又因为|QM|+|QP|=r=4,所以|QM|+|QP|=4>|MN|,
所以Q点的轨迹为椭圆,且2a=4即a=2,
由题意可知c=,所以b=1,
∴曲线E的方程为
(2)因为,所以四边形OACB为平行四边形,
当直线m的斜率不存在时,显然不符合题意;
当直线m的斜率存在时,设直线 的方程为y=kx+3,
直线m与曲线E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
联立方程组,消去y,
整理得(1+4k2)x2+24kx+32=0.由△=(24k)2﹣128(1+4k2)>0
得k2>2. x1+x2=﹣,x1x2=,
因为S△OAB=|OD||x1﹣x2|=|x1﹣x2|,
所以SOACB=2S△OAB=3|x1﹣x2|=3
=3=24,
令k2﹣2=t,则k2=t+2(由上式知t>0),
所以SOANB=24=24≤24=2,
当且仅当t=,即k2=时取等号,∴当k=±时,
平行四边形OACB的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±x+3
(3)若直线斜率存在,设直线与曲线E的交点坐标为,
满足曲线E的方程,两式作差可得,
G,H的中点F落在直线y=2x上,
则有代入可得,
直线方程可以设为与抛物线方程联立,
得,消元可得方程,
直线与抛物线相切则有,所以,
则直线的方程为x+8y﹣8=0,与椭圆方程联立:,
消元可得方程17y2﹣32y+15=0,△=322﹣4×17×15>0,
所以直线x+8y﹣8=0满足题意.
若直线斜率不存在时,直线x=0满足题意.
所以,综上这样的直线存在,方程是x+8y﹣8=0或x=0.
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【题目】某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位:).
(Ⅰ)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于的概率约为多少?
(Ⅱ)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理巾.
附:,则,,.
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【题目】在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,是边长为4的等边三角形,,是的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知点P在曲线x2+y2=1上运动,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,动点M满足.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)点AB在直线x﹣y﹣4=0上,且AB=4,求△MAB的面积的最大值.
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【题目】抛物线的焦点为,准线为,若为抛物线上第一象限的一动点,过作的垂线交准线于点,交抛物线于两点.
(Ⅰ)求证:直线与抛物线相切;
(Ⅱ)若点满足,求此时点的坐标.
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【题目】新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是( )
A. 2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B. 2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C. 2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D. 2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
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