Question

10．若函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a，g（x）=2x+1对任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），a的取值范围？

Answer 1

分析 根据g（x）的单调性求出函数g（x）的最大值，由题意对任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），分离参数，转化为a＜（2-x）-$\frac{3}{2-x}$，构造函数，根据导数求出函数的最小值．问题得以解决．

解答 解：∵g（x）=2x+1在（0，1）单调递增，
∴g（x）＜g（1）=2+1=3，
∵对任意的x₁，x₂∈（0，1）都有f（x₁）＞g（x₂），
∴x²+（a-4）x+4-2a＞3在（0，1）恒成立，
即a（2-x）＜x²-4x+1=（x-2）²-3，
∴a＜（2-x）-$\frac{3}{2-x}$
设h（x）=（2-x）-$\frac{3}{2-x}$，
则h′（x）=-1-$\frac{3}{（2-x）^{2}}$＜0恒成立，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1）=2-1-3=-2，
∴a＜-2，
故a的取值范围为（-∞，-2）．

点评 本题考查导数知识的运用，以及参数的取值范围，关键是构造函数，属于中档题．