Question

7．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{28π}{3}$
• C． 16π
• D． 21π

Answer 1

分析 由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S-ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．

解答 解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S-ABCD，
其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，
AB⊥平面SBC，
取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=$\sqrt{3}$，
设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，
过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=$\sqrt{3}-x$，OH=MF=1，
∴OD²=OS²=R²，
即（$\sqrt{2}$）²+x²=1²+（$\sqrt{3}-x$）²，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$，
∴该空间几何体的外接球的表面积S=$4π×（\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}）^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．