Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．
（Ⅱ）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可以先“转化”：当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离．∵AB∥平面OCD，所以点B和点A到平面OCD的距离相等．
连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．

解答：解（Ⅰ）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．
作AP⊥CD于点P，连接MP．
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

．
∵MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
所以，异面直线AB与MD所成的角为

π

3

．
（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，所以点B和点A到平面OCD的距离相等．
连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

3 2

2

，AP=PD=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2× 2 2

3 2 2

=

2

3

．
所以，点B到平面OCD的距离为

2

3

．

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．