Question

如图组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为+1，+1，1．
（Ⅰ）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD．若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 根据正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为+1，+1，1，从而可确定BA，BB₁的长．以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而可利用夹角公式求出直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）假设存在，利用与平面ACD的法向量，得方程即可求解．
解答：解：（1）设BA=BC=BD=a，BB₁=b

以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

∵

∴


∴
∴不存在满足条件的点P．
点评：本题以组合体为载体，考查线面角，考查线面存在，关键是构建空间直角坐标系．