Question

16．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$
（1）求角C；
（2）若边c=$\sqrt{3}$，a+b=3，求边a和b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦函数，以及三角形的内角和求出角C的余弦函数值．
（2）利用余弦定理求出a、b的方程，结合已知条件求解即可．

解答 解　（1）由 4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，及A+B+C=180°，
得2[1-cos（A+B）]-2cos² C+1=$\frac{7}{2}$，
4（1+cosC）-4cos²，c=5，即4cos²C-4cosC+1=0，
∴（2cosC-1）²=0，解得cosC=$\frac{1}{2}$．…（4分）
∵0°＜C＜180°，∴C=60°．…（6分）
（2）由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，∵cosC=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
化简并整理，得（a+b）²-c²=3ba，
将c=$\sqrt{3}$，a+b=3代入上式，得ab=2．…（10分）
则由$\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ ab=2\end{array}\right.$，解得  $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$．…（12分）

点评 本题考查二倍角公式以及三角形的内角和，余弦定理的应用，考查计算能力．