Question

已知实数x满足4^x-10•2^x+16≤0，求函数y=(log3x)2-log3

x

+2的值域．

Answer 1

分析：把“指数2^x”作为一个整体，求不等式（2^x）²-10•2^x+16≤0的解集，即可求出log₃x的范围，利用换元法化简函数的解析式为y=t²-

1

2

t+2，转化为二次函数利用配方法即可求出函数的值域．

解答：解：由题意知：4^x-10•2^x+16≤0，解得2≤2^x≤8，
∴1≤x≤3，
∵y=(log3x)2-log3

x

+2=log32x-

1

2

log3x+2，
令t=log₃x，则t∈[0，1]，
∴y=t²-

1

2

t+2=（t-

1

4

）²+

31

16

，t∈[0，1]，
∴当t=

1

4

时，y_min=

31

16

，
当t=1时，y_max=

5

2

，
∴f（x）的值域是 [

31

16

，

5

2

]．

点评：本题考查了求指数型的不等式和对数型复合函数的值域，把“对数log₃x”作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想，属中档题．