(本题满分14分)
如图1,直角梯形中, 四边形
是正方形,
,
.将正方形沿
折起,得到如图2所示的多面体,其中面
面
,
是
中点.
(1) 证明:∥平面
;
(2) 求三棱锥的体积.
图1 图2
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,作出辅助线MN,N为中点,在
中,利用中位线得到
,且
,结合已知条件,可证出四边形ABMN为平行四边形,所以
,利用线面平行的判定,得
∥平面
;第二问,利用面面垂直的性质,判断
面
,再利用已知的边长,可证出
,则利用线面垂直的判定得
平面BDE,再利用面面垂直的判定得平面
平面
,所以作
,则利用面面垂直的性质,可得
平面
,则
为三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式求体积即可.
(1)证明:取中点
,连结
.
在△中,
分别为
的中点,所以
∥
.由已知
∥
,
,所以
∥
,且
.所以四边形
为平行四边形,所以
∥
. 3分
又因为平面
,且
平面
,
所以∥平面
. 4分
(2)面面
,
面
,
面面
,
,
面
又面
,
6分
梯形中,
,
,
,
所以,,
,
,所以,
平面
8分
又平面
,所以,平面
平面
作,则
平面
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)(2011•湖北)如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2
,BF=
.
(I) 求证:CF⊥C1E;
(II) 求二面角E﹣CF﹣C1的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,,
为圆柱
的母线,
是底面圆
的直径,
,
分别是
,
的中点,
.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)假设这是个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险,求鱼被捕的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=CC1,M、N分别为BB1、
A1C1的中点.
(1)求证:CB1⊥平面ABC1;
(2)求证:MN//平面ABC1.
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