Question

已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-mx+2=0}．若A∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算,并集及其运算

专题：集合

分析：求出A中方程的解确定出A，由A∪B=A，A∩C=C，得到B⊆A，C⊆A，分类讨论B与C，分别求出a，m的范围即可．

解答： 解：由A中方程变形得：（x-1）（x-2）=0，
解得：x=1或x=2，即A={1，2}，
∵B={x|x²-ax+a-1=0}，C={x|x²-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，
∴B⊆A，C⊆A，
若B⊆A，显见B中至少有一个元素1，即B≠∅，
当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意；
当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意，
∴a=2或a=3，
则a的取值集合为{2，3}；
若C⊆A，
当C是空集时，△=m²-8＜0，即-2

2

＜m＜2

2

；
当C为单元素集合时，△=0，m=±2

2

，
此时C={

2

}或C={-

2

}，不满足题意；
当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3，
综上，m的取值集合为{m|m=3或-2

2

＜m＜2

2

}．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．