Question

9．设D是△ABC的边BC上的一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，连接EF交AD于点G．
（1）求$\frac{DG}{GA}$的值是多少？
（2）当D是BC的中点时，且GA=3，GB=4，GC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AE、AF并延长分别交BC与M、N，由重心的性质可得；
（2）延长GD至点P，使DP=GD，由G为△ABC的重心和已知数据及三角形的面积公式可得．

解答 解：（1）连接AE、AF并延长分别交BC与M、N，
∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，
∴$\frac{AE}{EM}$=$\frac{AF}{FN}$=2，∴EF∥MN，
∴$\frac{DG}{GA}$=$\frac{ME}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
（2）延长GD至点P，使DP=GD，∵G为△ABC的重心，
∴GP=GA=3，GB=4，GC=BP=5，∴∠DGB=90°，
∴S_△GDB=$\frac{1}{2}$GD•GN=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4$=3，
∴S_△GAB=2S_△GDB=6，∴S_△ABC=2（3+6）=18．

点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及重心的性质和三角形的面积，属中档题．