设等比数列{an}的前n项的和为Sn，公比为q（q≠1）．
（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；
（2）若Sm，Sk，St（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{an}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；
（3）若q为大于1的正整数．试问{an}中是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．
【答案】
分析：（1）根据S
4，S
12，S
8成等差数列，q≠1，可得S
12=S
4+S
8，化简可得2q
8=1+q
4，进而可以证明a
10，a
18，a
14成等差数列；
（2）根据S
m，S
k，S
t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，可得2S
k=S
m+S
t，化简可得
，从而可得a
m+1，a
k+1，a
t+1成等差数列，即可得出结论；
（3）假设存在一项a
k，使得a
k恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a
k=a
n+a
n+1，可得k＞n，q
k-n=1+q
，从而可得结论．
解答：解：（1）若S
4，S
12，S
8成等差数列，q≠1，则S
12=S
4+S
8，
∴
=
+
∴2q
8=1+q
4∴a
10+a
14=
=
=
=2a
18，
∴a
10，a
18，a
14成等差数列；
（2）若S
m，S
k，S
t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，则2S
k=S
m+S
t，
∴
=
+
∴2q
k=q
m+q
t∴
∴a
m+1，a
k+1，a
t+1成等差数列，
∴a
m+2，a
k+2，a
t+2成等差数列；
（3）假设存在一项a
k，使得a
k恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a
k=a
n+a
n+1，
则
∵a
1≠0，q＞1
∴q
k-1=q
n-1+q
n∴q
k=q
n+q
n+1∵q
n+1＞1
∴q
k＞q
n∴k＞n，q
k-n=1+q
当q为偶数时，q
k-n为偶数，而1+q为奇数，假设不成立；
当q为奇数时，q
k-n为奇数，而1+q为偶数，假设也不成立，
综上，{a
n}中不存在a
k，使得a
k恰好可以表示为该数列中连续两项的和．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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