Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），点F到右顶点的距离为$\sqrt{2}$+1．
（1）求该椭圆方程；
（2）已知经过点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，点M（-$\frac{5}{4}$，0），求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值；
（3）若经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M（-$\frac{5}{4}$，0），问$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c和a+c，解得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出直线方程x=-1，代入椭圆方程求得A，B的坐标，进一步求得$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐标，代入数量积公式得答案；
（3）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积公式求解．

解答 解：（1）由题意得c=1，a+c=$\sqrt{2}+1$，
∴a=$\sqrt{2}$，则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）把x=-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，解得：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（-1，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
又M（-$\frac{5}{4}$，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}），\overrightarrow{MB}=（\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{7}{16}$；
（3）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+k，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+k）（kx₂+k）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}$
$\overrightarrow{MA}=（{x}_{1}+\frac{5}{4}，{y}_{1}），\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}+\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}）（{x}_{2}+\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（\frac{5}{4}+{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$（1+{k}^{2}）•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$$+（\frac{5}{4}+{k}^{2}）•\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+{k}^{2}+\frac{25}{16}$=$-\frac{7}{16}$．
又由（2）知，当直线l垂直于x轴时$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$．
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$是定值-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线和椭圆位置关系的应用，涉及直线和椭圆的位置关系问题，常采用联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解，是中档题．