Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（I）求a的值；
（II）求λ的取值范围；
（III）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）恒成立代入整理后即可求a的值；
（2）利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围；
（3）先利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ln（e^x+a）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）
（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）
（3）∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t²+λt+1．∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0.

&其中λ≤-1

恒成立．…（10分）
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
则

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0.

∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0.

而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．…（13分）

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性以及函数恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．