Question

6．点P为棱长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点M为B₁C₁的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}π}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}π}}{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}π}}{5}$

Answer 1

分析 直线DP在过点D且与BM垂直的平面内．又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆，即可得出结论．

解答 解：设BB₁的中点N，CN为DP在平面B₁C₁CB中的射影，直线DP在过点D且与BM垂直的平面内．又点P在内接球的球面上，故点P的轨迹是正方体的内切球与过D且与BM垂直的平面相交得到的小圆，即点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线．由等面积$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×h=\frac{1}{2}×1×1$，求得点O到此平面的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，截得小圆的半径为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，所以以点P的轨迹的长度为$\frac{{4\sqrt{5}π}}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了学生的空间想象力，求出点P的轨迹是关键，属于中档题．