Question

某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，设每亩水面的年平均经济效益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数）．
（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．
（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．
注：根据下列近似值进行计算：
0.99²≈0.98，0.99²≈0.97，0.99⁴≈0.96，0.99⁵≈0.95，0.99⁶≈0.94，0.99⁷≈0.93．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意收益不小于支出的条件可以表示为cx≥ax²+bx，化简的x[ax-（c-b）]≤0，故只需分别看c-b≤0和c-b＞0两种情况下的关系．
（2）设该地现在水面m亩，今年填湖造地x亩．依题意可得到关系式，进而求出x的范围．
解答：解：（1）收益不小于支出的条件可以表示为cx≥ax²+bx，
所以ax²+（b-c）x≤0，x[ax-（c-b）]≤0．
当，此时不能填湖造地，
当c-b＞0，即，此时所填面积的最大值为亩；
（2）设该地现在水面m亩，今年填湖造地x亩．
则x+（1-1%）x+（1-1%）²x+（1-1%）³x+（1-1%）⁴x≤0.25m，
即，
因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的．
点评：本题主要考查了等比数列的求和问题．数列的求和问题是数列重要内容之一常与函数、不等式、极限等一块考查，平时应多积累求和的各种方法．