Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上的点A（a，2

a

）的切线斜率等于直线AF斜率的

1

4

，则点A到抛物线的准线l的距离为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线的点A，可得p=2，求出y=2

x

的导数，可得点A处切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程即得a=2，再由点到直线的距离公式即可得到．

解答： 解：由抛物线上的点A（a，2

a

），则
4a=2pa，解得，p=2．
即有抛物线方程为y²=4x，
焦点为（1，0），准线方程为x=-1，
由y=2

x

的导数为y′=

1

x

，
则抛物线上的点A（a，2

a

）的切线斜率为

1

a

，
则有

1

a

=

1

4

•

2 a

a-1

，解得，a=2，
即有A到准线的距离为2-（-1）=3．
故答案为：3．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线斜率公式及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．