Question

（2009•台州二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为B点，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）分别求出AA₁与底面ABC，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱B₁C₁上确定一点P，使AP=

14

，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定∠A₁AB就是AA₁与底面ABC所成的角，即可求出AA₁与底面ABC所成的角，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，可求AA₁与棱BC所成的角；
（Ⅱ）确定P为棱B₁C₁的中点，求出平面P-AB-A₁的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）因为A₁在底面ABC上的射影恰为B点，所以A₁B⊥底面ABC．
所以∠A₁AB就是AA₁与底面ABC所成的角．
因AB=A₁B=2，A₁B⊥AB，故 ∠A1AB=

π

4

，
即AA₁与底面ABC所成的角是

π

4

．…（3分）
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=(0，2，2)，

BC

=

B1C1

=(2，-2，0)．
则cos＜

AA1

，

BC

＞

AA1 • BC

| AA1 |•| BC |

=

-4

8 • 8

=-

1

2

，
故AA₁与棱BC所成的角是

π

3

．…（7分）
（Ⅱ）设

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ，0)，则P（2λ，4-2λ，2）．
于是AP=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

14

⇒λ=

1

2

（λ=

3

2

舍去），
则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2）．…（9分）
设平面P-AB-A₁的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

n1 • AP =0 n1 • AB =0

⇒

x+3y+2z=0 2y=0

⇒

x=-2z y=0

，
故

n1

=(-2，0，1)．…（11分）
而平面ABA₁的法向量是

n2

=(1，0，0)，
则cos＜

n1

，

n2

＞

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

5

=-

2 5

5

，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是

2 5

5

．…（14分）

点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量，利用向量的夹角公式是关键．