Question

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：设P（m，n ），则

m2

3

-n2=1，m≥

3

，利用两个向量的数量积公式化简

OP

•

FP

的 解析式为

4

3

m²+2m-1，据

OP

•

FP

 在[

3

，+∞）上是增函数，求出其值域．

解答：解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=

3

．设P（m，n ），则

m2

3

-n2=1，m≥

3

．

OP

•

FP

=（m，n ）•（m+2，n）=m²+2m+n²=m2 + 2m + 

m2

3

 - 1=

4

3

m²+2m-1 关于
m=-

3

4

对称，故

OP

•

FP

 在[

3

，+∞）上是增函数，当 m=

3

时有最小值为 3+2

3

，无最大值，
故

OP

•

FP

的取值范围为 [3+2

3

，+∞)，
故答案为：[3+2

3

，+∞)．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，化简

OP

•

FP

的 解析式，
是解题的关键，并注意m的取值范围．