Question

已知实数x，y满足不等式组

x-2y+1≥0 |x|-y-1≤0

，则x²+y²-6x+9的取值范围是

[2，16]

．

Answer 1

分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与点（3，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
z=x²+y²-6x+9，
表示可行域内点到点D（3，0）距离的平方，
点D到直线x-y-1=0的距离是点D到区域内的最小值，
d=

|3-0+1|

12+(-1) 2

=

2

，
∴z=x²+y²-6x+9的最小值为 2；
点D到点A的距离是点D到区域内的最大值，此时d=4
∴z=x²+y²-6x+9的最大值为 16；
故答案为：[2，16]．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．