Question

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为AB的中点，E，F分别在线段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如图所示，

（1）求证：E₁F∥平面A₁BD；
（2）当二面角A₁-CD-B为直二面角时，是否存在点F，使得直线A₁F与平面BCD所成的角为60°，若存在求CF的长，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据同一平面内CD⊥AB且EF⊥CD，证出EF∥CD．由此可得GE₁∥DA₁且GF∥BD，从而得到GE₁∥平面A₁BD且
GF∥平面A₁BD，结合面面平行判定定理得到平面E₁FG∥平面A₁BD，即可得到E₁F∥平面A₁BD；
（2）由面面垂直的判定与性质，证出A₁D⊥平面BCD，得A₁F在平面BCD内的射影为DF，∠A₁FD就是A₁F与平面BCD所成角，即∠A₁FD=60°．Rt△A₁FD中，由A₁D=，算出DF=1=CD，进而得到△CDF为等边三角形，可得CF=1，即存在满足条件的点F．
解答：解：（1）∵AC=BC，且D为AB的中点，∴CD⊥AB，
又∵EF∥AB，∴EF⊥CD…（2分）
在空间几何体C-A₁BD中，
∵GE₁∥DA₁，GE₁?平面A₁BD，DA₁?平面A₁BD，∴GE₁∥平面A₁BD
同理可得：GF∥平面A₁BD
∵GE₁、GF是平面E₁FG内的相交直线，
∴平面E₁FG∥平面A₁BD…（5分）
∵E₁F?平面E₁FG，∴E₁F∥平面A₁BD…（7分）
（2）∵二面角A₁-CD-B为直二面角，∴平面A₁CD⊥平面BCD
∵A₁D⊥CD，平面A₁CD∩平面BCD=CD，A₁D?平面A₁CD
∴A₁D⊥平面BCD，…（9分）
可得A₁F在平面BCD内的射影为DF，得∠A₁FD就是A₁F与平面BCD所成角，
即∠A₁FD=60°…（11分）
∵Rt△A₁FD中，A₁D=，∴DF=1=CD
∵△CDF中，∠DCF=60°，∴△CDF为等边三角形，可得CF=1．
因此，存在点F使得直线A₁F与平面BCD所成的角为60°，此时CF的长为1．…（14分）
点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行并探索线面所成角的问题．着重考查了线面平行、面面平行的判定定理、面面垂直的性质和直线与平面所成角求法等知识，属于中档题．